从正整数到实数和数的连续体

因为实为数露西的实为数可以铺满斜向并且和斜向上的点具体来却说，斜向具有年之前持续性，那么这个实为数集也必要具备相应的年之前持续性。Dedekind从斜向年之前持续性逻辑获取奥秘，看来实为数集的年之前持续性必要展示出借助于这样的持续政治性：如果把实为数集内的 所有为数分为两一小 A 1 和 A 2 ，以至于 A 1 内的每个为数都极小 A 2 内的每个为数，那么有且为数不多一个为数能导致这个划分，这个为数本身可以看做 A 1 这一小的最大为数或 A 2 这一小的很小为数5 。实为数集是年之前的，所以也指为实为数集是为数的年之前质，简体中文number continuum6 ，亦之前文名"为数的年之前统"。右边这条持续政治性可指为为为数的年之前质逻辑（number continuum axiom），因为这条持续政治性是曾受斜向年之前持续性逻辑奥秘而提借助于来的，所以也应将它看变为是一个取值的似乎，无需断言。

自此，你似乎不能高呼："好了！我们终于有为数的年之前质了！"但是，我们还是并能得摸清楚这个年之前质内的可能会、搞清楚它具备的其它持续政治性不须，不然空有一个表达方式而讲其持续政治性，那么我们也就只能借助为数的年之前质，最后也实际上是让这个表达方式方形同虚设，无所用场。

有必需的曾受众请求先行去解读实为数集的这些表达方式以便在此之前学习者：上并驾齐驱、很小上并驾齐驱（亦则有"上确并驾齐驱"，简体中文the least upper bound）、下并驾齐驱、最大下并驾齐驱（亦则有"下确并驾齐驱"，简体中文the greater lower bound）。

要深造的首条持续政治性很重要，它使得实为数集近似于而今为数集------ 非空有上并驾齐驱的实为数集在实为数集环绕着很小上并驾齐驱（上确并驾齐驱）7 ，指为为 实为数集的很小上并驾齐驱持续政治性（Least upper bound property of R） 。

断言：设A是 RR 的非空假子集且有上并驾齐驱，那么比A内每个为数都大的实为数均是由的子集C，剩余的实为数均是由的子集B内的每个为数都极小C内的每个为数，根据为数的年之前质逻辑推定有且为数不多一个实为数c能把实为数集分为B和C两一小，c是B的很小上并驾齐驱。另外因为子集B内的每个为数都不比A内每个为数都大，所以A的上并驾齐驱就是B的上并驾齐驱，又因为A⊂B，所以B的上并驾齐驱就是A的上并驾齐驱，综上推定子集A和子集B有协力的很小上并驾齐驱c，所以有上并驾齐驱的子集A在实为数集环绕着很小上并驾齐驱。

反过来看，如果非空有上并驾齐驱的实为数集A在实为数集环绕着很小上并驾齐驱c的话，那么不多于c的为数均是由的子集B包括子集A，多于c的为数均是由子集C，这样实为数集就被分为了子集B和C，B中都的为数都极小C中都的为数，无论如何c就是唯一导致这个划分的为数。可见， 为数的年之前质逻辑和实为数集很小上并驾齐驱持续政治性可互相取值彼此，也就是它们是等价的，当然，如果我们以实为数集很小上并驾齐驱持续政治性则有为逻辑的话，那么"为数的年之前质逻辑"可以由其得出，就必要把它改名则有"为数的年之前质方程"了，因为我们立即逻辑是不必需断言的。忽视敬指为上区别的难题，我们必要忘记的是这两条持续政治性是等价的，很多论著上都以实为数集很小上并驾齐驱持续政治性则有为生动实为数集年之前的究竟持续政治性，其也被指为为剩整持续性（或剩备持续性）逻辑（或方程）（completeness axiom 或completeness theorem），比方却说，至于叫它逻辑还是方程取决于到底将这条持续政治性看则有是取值的似乎。

非空有上并驾齐驱的而今为数集在而今为数集内就未而今很小上并驾齐驱，此处都和。因为不会平方也就是说2的而今为数 ，所以可把而今为数分为所有负而今为数和平方极小2的非负而今为数均是由的子集 A 1 = { x ∈ Q | x_ 2 < 2 or x < 0 } 和所有平方多于2的恰巧而今为数均是由的子集 A 2 = { x ∈ Q | x_ 2> 2 and x> 0 } ，如果我们在而今为数集内提问 A 1 的很小上并驾齐驱的话，那么因为此前发表文章我们之前断言过之前无最大为数 ， 所以这个很小上并驾齐驱只有可能在 A 2 内，如果在 A 2 环绕着 A 1 的很小上并驾齐驱c的话，那么根据之前断言过的 A 2 之前无很小为数推定 A 2 环绕着比c更加小的而今为数b，b一直多于 A 1 内的所有为数，所以 A 1 在 A 2 内无很小上并驾齐驱，总之 A 1 在而今为数集内都不会很小上并驾齐驱，由此可见有上并驾齐驱的而今为数集在而今为数集内不一定有很小上并驾齐驱，所以却说实为数集的很小上并驾齐驱持续政治性使得实为数集近似于而今为数集，而遭曾受这种状况的究竟可能还是实为数集是年之前的而而今为数集却不然。

根据实为数集的很小上并驾齐驱持续政治性我们可以断言 实为数集的欧几中都得持续政治性（Archimedean Property for Real Numbers）：如果x和y都是可任意恰巧实为数，那么断言恰巧整为数n使得nx> y.

可用公设来断言：推论nx> y对于任何恰巧整为数n都不变为立，那么不一定子集A={nx|n∈N}有上并驾齐驱y。根据实为数集的很小上并驾齐驱持续政治性推定A有很小上并驾齐驱z，因为x是恰巧为数，所以z-x就不是A的上并驾齐驱，那么也就断言恰巧整为数m使得mx>z-x，该式变方形可得（m+1）x>z，也就是A之前的元素（m+1）x多于A的很小上并驾齐驱，这是不有可能的，所以原得出结论得证8 。

根据实为数集的欧几中都得持续政治性可获取如下两条持续政治性：

1）对于可任意恰巧实为数x，总断言恰巧整为数n使得 1/ n < x 。

将不等式侧面都乘以n获取1

2）如果 a和 b都是实为数并且 a

断言：1和 b−a都是恰巧实为数，那么必断言恰巧整为数 n使得 n(b−a)>1。因为差值多于1的两实为数在在这不断言整为数 m，所以有 nb>m>na，稍加变方形获取 b> m/ n> a ，无论如何 m/ n 是而今为数，所以 任何两个不也就是说的实为数在在断言而今为数，重复分析步骤这个的步骤我们还可以获取 任何两个不也就是说的实为数在在断言无为数个而今为数这个得出结论(请求曾受众思考其之前的断言技术细节)。这个断言流程用到了实为数的减法归纳法，即： n ( b − a ) = n b − n a ，必需曾受众接曾受归纳法是对的此断言才变为立。

右边却说到的实为数集的持续政治性都很关键，请求曾受众留意！首次深造解析球面（国内指为为"高等为高等数学"）或为代高等数学的学生掌握右边这些持续政治性，然后先加上大学之前的为高等数学课程中都深造到的和实为数相关的不等父子关系和算术运算法则，对于深造这两门课程就差不多了，下面的主旨是为想全面解读实为数理论的学生写就的。

第二一小 定义实为数的步骤

过去我们来回顾一下实为数集的得出结论流程。从而今为数集扩展到实为数集必需引入的是一类新为数——行径为数，所以难题就归结到如何去得出结论行径为数、如何去定义行径为数。不同于本文之前的行径为数的定义步骤——与一个行径点唯一近似于的为数，过去相当盛行的行径为数或实为数的定义步骤分别是西德为几何学家康托（Georg Cantor）的和Dedekind的步骤。因为行径为数集被认则有实为数集的一一小，所以当有了实为数的定义步骤时，行径为数的定义步骤连续持续性就可以用实为数的定义步骤来正因如此，因此后文主要却说的是实为数的定义步骤。

Cantor对实为数的定义10 是：对于可任意取值的而今为数，如果一个各项都是而今为数的为整数添加有限多项外的其它无限多项在在的差值都极小这个而今为数，那么这个为整数就是一个实为数。

过去大多为数语文普遍看来Dedekind对实为数的定义11 是：每一个而今为数集的划分就是一个实为数。而今为数集划分的定义是：把而今为数集分为两个非空子集 A 1 和 A 2 ，以至对于 a 1 ∈ A 1 和 a 2 ∈ A 2 ，有 a 1 < a 2 ，Dedekind把这种分法指为为划分（Cut），后人指为其为而今为数集的Dedekind划分（Dedekind Cut），称作 A 1 | A 2 。我看来这种实为数定义与Dedekind的原意有所不同，后文不能详细却解释可能。

当你第一次看到这些实为数定义时，你似乎不能像我一样绝望地不告诉：这是什么过道？如此寻常，实质上脱口而借助于啊！我们为什么必需这种巧合的定义？按照他们这些定义来描述实为数，那么实为数毕竟是个什么过道啊？实质上不会了我们一开始对实为数重新认识的样子了。之前我们可以准确地看来实为数就是为对角上的第关键点，但过去，实为数从我们自看来最熟悉的为数变变为了却是、巧合的怪物！

实为数的表达方式（还包括而今为数和行径为数）在这两种定义借助于现之前就之前断言了，但是因为长期不会对实为数有个清楚的定义，以至于这种模糊的表达方式遭曾受了很多分歧，比如曾经自此看来实为数露西包括是非的"无穷小为数"和"无穷大为数"。右边这两种实为数定义提借助于的旨在是为了给实为数一个严格的定义，为实为数的断言建立注重的典范，进而排借助于之前散乱的实为数表达方式所造就的分歧。总之，这两种实为数定义是为几何学家在对实为数有了基本的准确的重新认识之前对实为数顺利剩成注重的恰巧式的整理之前的产物12 ，这些定义为的是注重，至于到底让初学心里有趣易学并不是这些定义主要关切的难题，关于为高等高深的注重持续性与可解读持续性、可学持续性的阐述曾受众可以看看Morris Kline的 Calculus: An Intuitive and Physical Approach(Second Edition)的preface to the first edition一小，则有者对解析球面的教学和它的注重持续性在在的父子关系有着更加有见地的重新认识！另外一个让初学心里这两种实为数定义难以解读的主要可能是这两种定义都用舍弃球面的步骤去定义实为数，进而却解释了的实为数定义相当具象和寻常。西德为几何学家Hermann Hankel对此评论却说："这类舍弃了球面年之前质（斜向）奥秘而定义借助于来的实为数尽管有了注重的典范，但却是极端晦涩难懂、令人震惊反感畏惧的人普遍性，每个人都有权利去不以为然这些定义的科学知识效益。"说是13 ：Every attempt to treat the irrational numbers formally and without the concept of (geometric) magnitude must lead to the most abstruse and troublesome artificialities, which, even if they can be carried through with complete rigor, as we he every right to doubt, do not he a higher scientific value.

对于大多为数想弄清楚"实为数集为什么是年之前的"、"实为数和为对角上的点为什么是具体来却说的"的初学来却说，这种舍弃球面准确后给实为数的定义之前把他们对实为数的印象搞得残破了，如果还要按照这种路子走尽全力，那么近期的深造非常大程度上只是分析步骤这些定义或持续政治性去机械地断言一些得出结论，对于解读只不过的为高等数学思想基本没什么实质持续性的帮助。西德为几何学家Paul du Bois-Reymond也表达了和我比方却说的观点——致密了实为数和球面年之前质（斜向）父子关系后建立的分析学将不能使得这门学科沦为眼看符号的玩意儿。说是14 ：A purely formalistic-literal framework of ysis which is what the separation of number from magnitude amounts to, would degrade this science to a mere game of symbols.

不管这些定义的创建者防止使用球面步骤来定义实为数的可能为何，一个很迫切需要很关键的消费是：我们必需至多直角三角形的在在距都要能用一个为数去亦然去衡量，换句话却说就是要有一个为数集以至于这中都面的每个为数和斜向上每个点具体来却说，这是一种迫切需要的立即，这这不使得我们把"要有一个为数集以至于这中都面的每个为数和斜向上的每个点具体来却说"当则有是一条并能变为立的持续政治性——把它看则有是一条逻辑，这个为数集就是实为数集，实际上即便是右边这两种定义的提借助于者Cantor和Dedekind——他们用舍弃了球面的步骤去定义实为数，但是为了在"为数（均指实为数集）"和"方形（均指斜向）"之在在建立联系也暂时引入这条逻辑15 ，后世指为之为Cantor-Dedekind逻辑16 ------斜向上的每个点和和实为数露西的实为数具体来却说。恰巧是基于为数和方形之在在只能割舍的紧密父子关系，也因为舍弃球面后对实为数下的定义更加具象和寻常、不易解读，所以本文的行径为数的定义步骤并不会舍弃球面，而是把行径为数定义为与一个行径点唯一近似于的为数。

第三一小 回顾Dedekind对实为数的定义步骤

过去我们来看看Dedekind对实为数的定义步骤，这更加容易我们全面解读实为数的持续政治性。Dedekind比如却说上文所述的斜向年之前持续性逻辑不能合，以而今为数集为了将来接合为数的年之前质的。他首先行引入了一种而今为数集的划分步骤——把而今为数集 Q分为两个非空子集 A 1 和 A 2 ，也就有 A 1 ∪ A 2 = Q ，另外对于 a 1 ∈ A 1 和 a 2 ∈ A 2 ，有 a 1 < a 2 。后人将这种划分步骤命名为而今为数集的Dedekind划分（Dedekind Cut），称作 A 1 | A 2 。

而今为数集的Dedekind划分 A 1 | A 2 不外乎就是这3种可能会17 ：

1） A 1 ；还有最大为数， A 2 之前无很小为数，如 A 1 = { x ∈ Q | x ≤ a , a ∈ Q } ， A 2 = { x ∈ Q | x> a , a ∈ Q } ；

2） A 1 之前无最大为数， A 2 ；还有很小为数，如 A 1 = { x ∈ Q | x < b , b ∈ Q } ， A 2 = { x ∈ Q | x ≥ b , b ∈ Q } ；

3） A 1 之前无最大为数， A 2 之前无很小为数；

" A 1 ；还有最大为数 a 1 ， A 2 ；还有很小为数 a 2 "的可能会是不有可能的，否则( a 1 + a 2)/2 便是一个不在 A 1 ∪ A 2 内的而今为数，这与 A 1 ∪ A 2 = Q 是非。

右边的第三种可能会是值得我们仔细思考的。第三种划分有可能断言吗？断言！上文所述的所有负而今为数和平方极小2的非负而今为数均是由的子集 A 1 = { x ∈ Q | x_ 2 < 2 or x < 0 } 和所有平方多于2的恰巧而今为数均是由的子集 A 2 = { x ∈ Q | x_ 2> 2 and x> 0 } 构变为的划分 A 1 | A 2 就符合第三种可能会。实际上这种划分有无为数多个，比如让D是可任意一个恰巧整为数并且 D 不是恰巧整为数18 ，那么 A 1 = { x ∈ Q | x_ 2 < D or x < 0 } 和 A 2 = { x ∈ Q | x_ 2> D and x> 0 } 构变为的划分比方却说是 A 1 之前无最大为数， A 2 之前无很小为数。第一种可能会下的划分可以看则有是由 A 1 中都的 a导致的，第二种可能会下的划分可以看则有是由 A 2 中都的 b导致的，至于第三种可能会下的划分，对于任何一个 A 1 或 A 2 之前的为数在同一子集内都有比它大或小的而今为数，所以任何一个 A 1 或 A 2 之前的为数都不有可能导致这种可能会下的划分，因此这个划分不是由而今为数来导致，Dedekind却说这个划分是由一个新为数——行径为数来导致的，他的说是是这么却说的19 ：Whenever, then, we he to do with a cut A 1 | A 2 produced by no rational number, we create a new, an irrational number α, which we regard as completely defined by this cut A 1 | A 2 ; we shall say that the number α corresponds to this cut, or that it produces this cut. From now on, therefore, to every definite cut there corresponds a definite rational or irrational number, and we regard two numbers as different or unequal always and only when they correspond to essentially different cuts.

Dedekind从而今为数集不能合，通过定义划分的步骤最后获取的实际上是而今为数集和而今为数集的划分而已，并不会是非的"行径为数"这种新科技，如果有的话，那么这个表达方式也实际上是"不是由而今为数导致的划分"的亦称罢了，或者却说行径为数就是这种划分，并不能却说划分是由行径为数导致的，如果硬是要这么却说那就选项断言了"行径为数"和"不是由而今为数导致的划分"是不同的表达方式了，那么这个"行径为数"又是哪中都来的呢？这个难题在1888年就由西德为几何学家Heinrich Weber写就信告诉过Dedekind，但Dedekind问道却说：我定义的行径为数并不是"不会而今为数导致的划分"，而是遭曾受这种划分的为数，恰巧如而今为数可以导致而今为数集的划分并且导致划分的而今为数本身并不是一个划分那样，我们实质上有人格可以创造借助于这种近似于划分的行径为数借助于来"------取材自Morris Kline的论著20 ，原意：In fact Heinrich Weber told Dedekind this, and in a letter of 1888 Dedekind replied that the irrational number α is not the cut itself but is something distinct, which corresponds to the cut and which brings about the cut. Likewise, while the rational numbers generate cuts, they are not the same as the cuts. He says we he the mental power to create such concepts.

"我们实质上有人格可以创造借助于这种近似于划分的行径为数借助于来"，Dedekind的这种陈述犹如空之前楼阁，他要创造近似于"不是由而今为数导致的划分"的"行径为数"借助于来是实质上不会典范的。另外一个我发现的难题是：如果按照Dedekind的话却说"不是由而今为数导致的划分是由 一个行径为数导致的"，Dedekind在他的著则有中都并不会却解释为什么这个划分不有可能是由多个行径为数导致的。恰巧是因为前面第一个难题，所以过去的为高等数学语文中都简述用而今为数集的Dedekind划分构建实为数集时都不能接曾受"不是由而今为数导致的划分是由行径为数导致的"这种传闻，而是把实为数集看变为是所有而今为数划分的子集，在这中都面行径为数是"不是由而今为数导致的划分"，而而今为数的定义也早已不是"可以写就变为 p q 基本表达方式的为数"了，而是一个"由而今为数导致的而今为数集的划分"，可见这种定义虽然注重了实为数理论，但是却让实为数变得好不连续持续性、相当具象，实质上解构了我们一开始对实为数的重新认识，渴望深入解读这种定义步骤的曾受众可去看D.C. Goldrei的 Classic Set Theory: For Guided Independent Study，从第二章看起。本文的行径为数的接合步骤和Dedekind的步骤一样都是曾受到了斜向年之前逻辑的奥秘而生，所不同的是本文不会把行径为数看则有是导致"不会而今为数导致的而今为数集划分"的为数，而是把行径为数规定为与行径点具体来却说的为数，这样的坏处是即存留了我们对实为数的准确重新认识，也防止了Dedekind的步骤曾受到的反驳。

另外， 从本文行径为数的定义取向来看，如果一个而今为数集的划分 A 1 | A 2 不是由而今为数导致的，那么这个划分毕竟是由一个行径为数导致的，先行前如下：比 A 1 内每个为数都大的实为数均是由的子集C（无论如何C包括 A 2 ），剩余的实为数均是由的子集B（无论如何B包括 A 1 ）内的每个为数都极小C内的每个为数，根据为数的年之前质逻辑推定有且为数不多一个实为数c能把实为数集分为B和C两一小，c是B的很小上并驾齐驱（无论如何c是个行径为数，否则与“划分 A 1 | A 2 不是由而今为数导致的”是非）。另外因为子集B内的每个为数都不比 A 1 内的每个为数都大，所以 A 1 的上并驾齐驱就是B的上并驾齐驱，又因为 A 1 ⊂B，所以B的上并驾齐驱就是 A 1 的上并驾齐驱，综上推定子集 A 1 和子集B有协力的很小上并驾齐驱c，可见虽然 A 1 在而今为数集内不会很小上并驾齐驱，但是在实为数集内就有很小上并驾齐驱。右边我们只是却说到有且为数不多一个行径为数c能把实为数集分为B和C两一小，c这个行径为数也能把而今为数集分则有 A 1 和 A 2 这两个子集，那么还有不会相仿c的其它行径为数可以导致比方却说的而今为数集的划分呢？如果数有一个相仿c的行径为数d能导致这个而今为数集的划分的话，那么根据之前之前断言过的得出结论告诉而今而今为数落在c和d之在在，这与c和d能导致相异的而今为数集划分是非，所以 有且为数不多一个行径为数能导致不是由而今为数导致的而今为数集划分。用比方却说的步骤也可以断言那些由而今为数导致的划分也是均由唯一的那个而今为数导致的。总之，导致而今为数集划分的实为数是唯一的——不有可能由两个不同的实为数导致相异的而今为数集划分，换句话却说 而今为数集的划分与实为数是具体来却说的。

不会而今为数来导致的划分的断言，从为数的年之前质逻辑取向来看，这揭示了而今为数集是有空隙的。因为在实为数集环绕着且为数不多一个行径为数c能导致这个划分，可以却说 A 1 和 A 2 在在的空隙均能容纳c这个行径为数或者却说 A 1 和 A 2 在在的空隙被c这个行径为数给填起来了，无论如何c多于 A 1 内的每个而今为数同时又极小 A 2 内的每个而今为数，也可以却说 A 1 和 A 2 这两个子集可以并驾齐驱定c这个行径为数。归根结底，这个特持续性还是由为数的年之前质或实为数集的年之前持续性所致。

我们之前告诉两个而今为数 p 1/ q 1 和 p 2/ q 2 相加的结果被定义变为( p 1 q 2 + p 2 q 1)/ q 1 q 2 ，但是因为行径为数不能写就变为 p/ q 这种基本表达方式，那么在实为数露西行径为数和另外一个而今为数或行径为数的运算结果该怎么定义呢？我们之前告诉每个行径为数或实为数都有唯一的而今为数集划分与之近似于，所以可以通过而今为数集的划分去阐述行径为数或实为数的相关难题。设 a是导致而今为数集划分 A 1 | A 2 的实为数，b是导致而今为数集划分 B 1 | B 2 的实为数，那么对于可任意一个来自 A 1 内的而今为数 a 1 和可任意一个来自 B 1 内的而今为数 b 1 ，有 a ≥ a 1 和 b ≥ b 1 ，那么 a + b ≥ a 1 + b 1 ,即 a + b 是 C 1 = { a 1 + b 1 | a 1 ϵ A 1 , b 1 ϵ B 1 } 的上并驾齐驱，把其余比 C 1 内每个而今为数都大的而今为数均是由的子集称作 C 2 ，这样就获取了而今为数集的划分 C 1 | C 2 ，在实为数集环绕着且为数不多一个实为数c并能遭曾受这个划分。另外，因为 a + b 是 C 1 的上并驾齐驱，如果我们能断言 a + b 不多于 C 2 内的任何而今为数，那么也就断言了 a + b 是导致划分 C 1 | C 2 的为数，就有 a + b = c ，不一定我打算用这种接合划分 C 1 | C 2 的步骤定义 a + b 的和。过去用公设来断言" a + b 不多于 C 2 内的任何而今为数"：推论 C 2 内断言而今为数 c 0 以至于 a + b> c 0 ，那么根据右边断言过的"任何两个不也就是说的实为数在在断言无为数个而今为数"这点推定在0和 a + b − c 0 之在在断言而今为数 q ，即 a + b − c 0> q> 0 ，全面可获取 ( a − q/ 2 ) + ( b − q/ 2 )> c 0 ，因为 a是 A 1 的很小上并驾齐驱， b 是 B 1 的很小上并驾齐驱，那么在 A 1 和 B 1 内这不分别断言而今为数 a 0 和 b 0 曾受限制 a> a 0> ( a − q/ 2 ) 和 b> b 0> ( b − q/ 2 ) ，进而有 a + b> a 0 + b 0> ( a − q/ 2 ) + ( b − q/ 2 )> c 0 ，从之前就让得出结论 C 2 内的为数 c 0 极小 C 1 内的为数 a 0 + b 0 ，这与划分 C 1 | C 2 的定义是非，所以 a + b 不多于 C 2 内的任何而今为数，因此 a + b 是导致划分 C 1 | C 2 的为数，就有 a + b = c 。通过接合划分 C 1 | C 2 的步骤，一方面我们定义了 a + b 的和，另外还可以通过c与 C 1 和 C 2 内的而今为数方形状父子关系来感官c的方形状——c是不极小 C 1 内的每个而今为数同时也不多于 C 2 内的每个而今为数的唯一实为数。分析步骤相异的步骤还可以定义实为数 aa 和 bb 的减法并且最后断言而今为数的运算法则和运算持续政治性（均指如下几条）比方却说适使用实为数。

渴望深入解读的曾受众可以去看Did French Belding和Kevin J. Mitchell的Foundations of Analysis, 2nd Edition ,可从19页看起，或D.C. Goldrei的 Classic Set Theory: For Guided Independent Study ，从第二章看起，学习者时要注意本文与这些论著所不同的是并不会把实为数看则有是而今为数集的划分。

不会而今为数来导致 A 1 = { x ∈ Q | x_ 2 < 2 or x < 0 } 和 A 2 = { x ∈ Q | x_ 2> 2 and x> 0 } 均是由的划分 A 1 | A 2 ，但有唯一的实为数c可以导致这个划分，那么 c_ 2 = 2 吗？一个实为数的平方只有极小或也就是说或多于2三种可能会，如果能 断言c_ 2 < 2 和c_ 2> 2 都不能便是分歧，那么 c_ 2 这不也就是说2。这中都c无论如何是个恰巧为数，为了比较简单难题，我们就在恰巧为数范围内提问本难题。如何便是分歧呢？推论 c_ 2 < 2 时，如果能 断言断言而今为数q 使得c_ 2 < q_ 2 < 2 ，这就不能遭曾受 A 1 内的而今为数q多于 A 1 的很小上并驾齐驱c这种分歧，那么如何断言断言这样的而今为数 qq 呢？如果有办法可以 断言断言着比c还大的实为数d曾受限制c_ 2 < d_ 2 < 2 ，那么通过"任何两个不也就是说的实为数在在断言无为数个而今为数"这条得出结论就可以告诉断言而今为数 q 曾受限制 c < q < d ，先根据"如果 0 < q < d ，那么 q_ 2 < d_ 2 "这个不等持续政治性推定 q_ 2 < 2 ，可见， 难题最后可归结到曾受限制条件的实为数d到底断言。首先行因为 c_ 2 < 2 ，只要选定足够大的恰巧整为数 n 就可以让 c + 1/ n 变得比 c 稍大一点点，那么我们很连续持续性就不能想：是不是断言恰巧整为数 n 使得实为数 d = c + 1/ n 以至于 d_ 2 = ( c + 1/ n )_ 2 < 2 呢？因为 d_ 2 = ( c + 1/ n )_ 2 = c_ 2 + 2 c/ n + 1/ n_ 2 < c_ 2 + 2 c/ n + 1/ n = c_ 2 + 1/ n* ( 2 c + 1 ) ，如果能断言断言恰巧整为数 n 使得 c_ 2 + 1/ n* ( 2 c + 1 ) < 2 ，那么 d_ 2 < 2 连续持续性得证。对 c_ 2 + 1/ n* ( 2 c + 1 ) < 2 稍加变方形可得 1/ n <( 2 − c_ 2)/( 2 c + 1 )， 过去难题变变为了到底断言恰巧整为数n 使得1/ n <( 2 − c_ 2)/( 2 c + 1 )，因为 c 是恰巧为数且 c_ 2 < 2 ，所以( 2 − c_ 2)/( 2 c + 1) 是恰巧为数，根据"对于可任意恰巧实为数 x ，总断言恰巧整为数 n 使得1/ n < x "得知断言这样的恰巧整为数 n ，也就断言恰巧整为数 n 使得实为数 d = c + 1/ n 以至于 d_ 2 = ( c + 1/ n )_ 2 < 2 ，而d的断言，根据前面的分析告诉是对推论 c_ 2 < 2 不能导致分歧的有力证据，用比方却说的步骤也可以断言 c_ 2> 2 时也不能导致分歧，所以 A 1 = { x ∈ Q | x_ 2 < 2 or x < 0 } 和 A 2 = { x ∈ Q | x_ 2> 2 and x> 0 } 均是由的划分 A 1 | A 2 是由恰巧实为数c导致的并且 c_ 2 = 2 ，可把c称作 2 ，从这中都可以看到 2 毕竟断言我们定义借助于的实为数露西。

以而今为数集为了将通过有趣表达方式的步骤构建一个为数的年之前质（实为数集），并让曾受众心里几条实为数的关键持续政治性，这就是本文的主要盼望。【剩】

注解：

Courant and Robbins, What Is Mathematics? Second Edition, P60↩

John Stillwell, Numbers and Geometry, P260↩

Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers , P5↩

Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers , P5↩

Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers , P9↩

Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P2↩

Terence Tao, Analysis I, third edition, P117↩

Did French Belding, Kevin J. Mitchell, Foundations of Analysis, 2nd Edition, P21↩

Did French Belding, Kevin J. Mitchell, Foundations of Analysis, 2nd Edition, P21↩

Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 3, 1990 edition, P984↩

Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 3, 1990 edition, P986↩

D.C. Goldrei， Classic Set Theory: For Guided Independent Study，P8↩

Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 3, 1990 edition, P987↩

P. Ehrlich，Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of Continua， page x↩

Hans Niels Jahnke ，A History of Analysis，P306↩

S. C. Malik， Principles of Real Analysis，P18↩

Courant and Robbins, What Is Mathematics? Second Edition, P71↩

Rudiments of Mathematics Part 1, Academic Publishers,P15↩

Richard Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, P7↩

Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 3, 1990 edition, P986↩

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